Bloc d'enseignement 2

Les termes semblables

Tel que mentionné dans notre dernier poste, on a profité d’une journée d’intempérie au mois d’avril (comme c’est ridicule!) pour travailler en équipe et réfléchir sur notre prochaine activité.  On a été très chanceuses d’avoir parmi nous Paule Rodrigue, une conseillère pédagogique en numératie.

En équipe, on a réfléchi sur la grande idée de l’activité, qu’est-ce que qu’on veut que les élèves apprennent?  On a ressorti quelques idées différentes :

• On aimerait que les élèves soient à l’aise avec les variables.
• On aimerait que les élèves comprennent le sens des variables, c’est-à-dire qu’elles peuvent être remplacées par une valeur.
• On aimerait que les élèves comprennent pourquoi on utilise les variables.

À partir de notre remue-ménage, on est parti avec l’idée qu’on veut amener les élèves à saisir le sens des variables à l’aide de deux étapes :

• Découvrir et définir par eux-mêmes les termes semblables
• Utiliser les tuiles algébriques pour manipuler les additions et les soustractions.

On s’est inspirées d’une présentation de Marian Small et de l’expertise de Paule pour élaborer l’activité.  Il faut savoir que l’activité n’est pas parfaite et qu’elle se repose beaucoup sur le questionnement de l’enseignant.

Jour 1

On a affiché les trois cercles sur le tableau blanc et on leur a posé les mêmes questions que les activités précédentes :

On leur a demandé de réfléchir individuellement pour quelques minutes, ensuite de se retourner et partager avec un ami leurs réflexions.  Finalement, on a fait un retour en groupe classe.  Les élèves ont surtout remarqué le nombre « d’équations » qu’il avait dans chaque cercle. 

La plupart on fait la remarque que dans le cercle 1, il y avait « une  équation », dans le cercle deux il y avait « deux équations », etc.

À partir de leurs réflexions, on a enchaîné avec les définitions des expressions algébriques.  On est retourné de la première diapo à la deuxième afin de ressortir la différence entre les trois cercles.

Ensuite, nous avons distribué le matériel de manipulation aux élèves.  La première étape était de présenter les paires nulles pour qu’ils s’en servent afin de simplifier les expressions.  De là, on a affiché divers exemples à modeler avec les tuiles.  On était chanceuse d’être trois adultes dans la classe, ce qui nous a permis de circuler et vérifier constamment le progrès des élèves.  La simplification s’est bien déroulée et on a eu le temps de commencer l’addition des polynômes. 

Avant de quitter le cours, on  a demandé aux élèves d’aller aux tableaux et d’écrire autant d’exemples possibles de monôme, binôme et trinôme.  Voici quelques exemples de leur travail (les élèves ont pris des photos de leur travail pour qu’on puisse faire un retour le lendemain) :

 

Le lendemain, on a profité de l'erreur pour entamer une discussion. 

Jour 2

On a commencé le cours avec une carte d’entrée, les élèves devaient définir un terme semblable et donner un exemple.  Ils devaient aussi expliquer les étapes à suivre pour additionner les polynômes. 

Les cartes d’entrée nous permettent de vérifier rapidement les élèves qui sont sur la bonne piste et ceux qui ont besoin d’appui supplémentaire. On a affiché les images et on a discuté des différentes réponses.  Les erreurs nous ont permis de revoir la définition et de nous améliorer.  Ensuite, on a projeté le « vortex » de termes semblables, c’est une courte activité où les élèves viennent au tableau et déposent dans le bon vortex une paire de termes. Maintenant, on est sûre que les élèves sont à l’aise avec les termes semblables et l’addition des polynômes, donc on leur propose un mini-défi qu’on a pris de Marian Small :

 

Encore une fois, on est chanceuse d’avoir plusieurs adultes parmi nous (enseignante, coach et stagiaire) ce qui nous permet de circuler et poser des questions à chaque équipe.  Pendant le retour sur le défi, on a demandé aux élèves d’expliquer leur stratégie.  Certains ont dit d’avoir utilisé une méthode « essaie-erreur » et quelques équipes ont ressorti l’idée qu’il faut se servir de pair nul.   

Finalement, on a fait la transition vers la soustraction des polynômes.  On voulait, à l’aide des tuiles algébriques, faire découvrir aux élèves qu’une soustraction est une addition de termes opposés.

Ici il faut vraiment laisser les élèves travailler et essayer de ne pas trop intervenir, ce n’est pas facile comme tâche!  On a eu de la difficulté à animer l’activité avec le premier groupe et donc on a changé notre méthode de questionnement pour le deuxième groupe.  On suggère que vous prenez le temps de lire les diapositives et décider comment vous allez amener les élèves à découvrir le concept.

Dans les journées qui suivent, pendant qu’on a passé à d’autres activités on a toujours assigné des devoirs dans le manuel pour les opérations sur les polynômes et on a affiché dans la classe la « chasse au trésor des polynômes ».  Un rappel que vous avez accès à tous les fichiers en appuyant sur le titre de l’activité.

Polygones et somme des angles intérieurs

Nous avons pris cette activité de Mr.Orr.

Nous avons décidé de faire cette activité pour faire découvrir la formule de la somme des angles intérieurs d’un polygone aux élèves. Ils connaissent déjà, de la 8^e année, le fait que la somme des angles intérieurs d’un triangle est 180 alors nos voulions miser sur ces connaissances pour bâtir la formule qui nous permet de trouver la somme des angles intérieurs d’un polygone à n côtés. Cette activité s’est échelonnée sur une durée de deux périodes.

Jour 1

Nous avons commencé la période en demandant aux élèves d’observer l’animation suivante et d’écrire tout ce qu’ils pouvaient voir sur une feuille.

La feuille était séparée en deux parties : Ce que tu vois et Ce que tu te demandes. Ils doivent faire ceci en silence et nous leur avons laissé un bon deux minutes pour penser et faire ressortir tout ce qui peut leur venir en tête. Au début, il n’y a pas beaucoup de points, mais plus le temps avance, plus ils font ressortir des choses. C’est bien de leur demander de les écrire puisque le partage sera plus facile. De plus, ils sont redevables alors ils y mettent plus d’efforts. Après ce temps individuel, nous leur demandons de partager avec une camarade ce qu’ils ont ressorti des deux catégories et nous faisons une mise en commun en groupe classe par la suite.

 La question qui guidera toutes nos discussions et qui est LA grande idée de cette série d'activités :

Quelle est la valeur des angles intérieurs d’un polygone à 20, 30,50… n côtés?

Nous allons commencer par trouver la valeur qui représente la somme des angles dans un triangle. Pour ce faire, nous distribuons la feuille avec les différents cercles. Nous leur demandons de

1. choisir, en fermant leurs yeux, au hasard avec leur doigt un cercle;
2. placer trois points aléatoirement sur la circonférence du cercle choisi;
3. former un triangle à l’aide des trois points qui serviront de sommets;(Nous leur demandons ici s’il est probable que deux personnes de la classe aient dessiné exactement le même triangle avec les exacts mêmes angles. Ils diront que non.)
4. utiliser un rapporteur d’angle et mesurer chaque angle de leur triangle;
5. additionner la valeur des trois angles ensemble.

En faisant une mise en comment, nous allons découvrir que tous les triangles ont une somme d’angles intérieurs d’environ 180 degrés. Ceci, même si nous nous étions mis d’accord que chacun avait un triangle différent.

Que peut-on conclure ici? La somme des angles intérieurs d’un triangle est de 180 degrés.

Ensemble, nous avons décidé de prouver ceci d’une différente méthode. Nous avons remis un morceau de papier ou un Post-it à chaque élève et nous leur avons demandé de : 

1. découper un triangle (isocèle, équilatérale ou scalène) afin d’avoir une variété à travers les gens de la classe puisque nous voulons des triangles différents;
2. marquer avec leur crayon chaque coin du triangle afin de les repérer facilement lors de la prochaine étape;
3. déchirer, et non découper, le triangle en trois morceaux de manière à conserver les trois coins (sommets) de ton triangle intact;
4. place les sommets ensemble de manière à ce qu’ils se touchent;
5. décrire ce qu’ils remarquent. 

Ils vont remarquer que ça forme un angle droit ou un angle de 180 degrés. Alors si nous plaçons tous les angles intérieurs de notre triangle, nous obtenons encore une fois un somme de 180 degrés.

Puisque nous avons prouvé de deux manières différentes la somme des angles du triangle, passons au quadrilatère.

Nous les avons laissés aller avec la découverte ici aussi. Après les avoir regroupés en dyade, nous leur avons demandé de :

1. encore une fois choisir un cercle au hasard sur leur feuille de cercles;
2. placer quatre points sur la circonférence du cercle cette fois;
3. relier les points de manière à former un quadrilatère;
4. trouver la somme des angles intérieurs du quadrilatère sans utiliser de rapport d’angle, mais seulement ce que nous avons appris jusqu’à présent.

Ceci a créé quelques frustrations chez certains élèves puisqu’ils ne savaient pas quoi faire, mais nous voulons les déstabiliser afin de provoquer un apprentissage permanent. Nous les avons laissé travailler sans donner de pistes ou la réponse, mais en revenant avec « pense à ce que nous avons appris aujourd’hui ». Après quelque temps, la plupart des équipes avaient trouvé que la somme était de 360 degrés puisque nous pouvions séparer le quadrilatère en deux triangles de 180 degrés chacun. Afin de prouver ceci, nous avons utilisé la technique du Post-it encore une fois (qui nous donne un angle plein ou 360 degrés).

Jour 2

Puisque nous avons des tableaux blancs tout autour de notre salle de classe sur les murs, nous avons regroupé les élèves en équipe de 4 pour la prochaine partie et nous leur avons demandé de travailler sur les tableaux blancs.  Nous leur avons demandé de 

Trouver une formule qui nous permettrait de trouver la somme des angles intérieurs d’un polygone à 20, 30, 50 et n côtés, en se servant des connaissances que nous avons acquises lors de la dernière période.

Certains groupes ont utilisé leur document avec les cercles et ont commencé par trouver la somme des angles intérieurs pour un polygone à 5 côtés, à 6 côtés, à 7 côtés et ont trouvé une régularité. Certains groupes ont essayé, mais ne sont pas arrivés à une conclusion. Deux formules sont ressorties :

S = (n - 2) x 180   et  S = (n x 180) – 360

Nous avons pu faire ressortir que les deux formules étaient identiques si on les simplifiait. Suite à la mise en commun, toutes les équipes ont bien compris d’où venait cette formule.

Ils ont ensuite rempli la feuille de route. Nous ne voulions pas la donner avant puisque nous ne voulions pas donner de piste aux élèves. Nous voulions leur laisser la change de penser, d’être en état de « active struggle » et de découverte.

Ce qui est bien de cette feuille de route, nous voyons que le tableau ne nous permet pas d’entrer de données pour un polygone à 1 ou 2 côtés. Ceci est une discussion intéressante à avoir avec les élèves.

Devoir et exercices :

Un document de devoir est placé dans le dossier de l’activité.

Suite à l’activité des termes semblables, il y a aussi une fiche qui permet de pratiquer les sommes des angles intérieurs d’un polygone et l’algèbre.

Cordes et noeuds

Cette activité est inspirée d'Alex Overwijk, un enseignant qu’on admire et qui partage plusieurs idées de résolutions de problèmes sur son blogue.  D’ailleurs, cette année, dans le cadre de la transformation de l’apprentissage chez l’élève nous avons eu l’occasion d’aller visiter Alex et ses collègues au "Glebe Collegiate Institute" afin d’observer comment ils ont modifié l’enseignement des mathématiques.  L’expérience nous a encouragé davantage de continuer à offrir à nos élèves des questions ouvertes, un curriculum en spirale et un milieu dans lequel les erreurs sont encouragées.  

Alex enseigne aux niveaux séniors et dans son activité il présente l’idée à ses élèves sans nécessairement intégrer une mise en situation.  Dans notre contexte, on a voulu engager un peu plus les élèves, surtout qu’ils sont encore en 9e année et parfois manque d’intérêt.

Jour 1

On a présenté le problème dans un scénario où deux prisonniers veulent s’évader de la prison. Pour ce faire, ils doivent planifier méticuleusement les moindres détails de leur évasion. Du sommet d’un mur, ils devront lancer leurs cordes en bas, sans qu’elles ne touchent le sol puisqu’il y a des capteurs de pression.

Quand les élèves ressortent l’idée que les prisonniers devront faire des noeuds afin de raccourcir leurs codes, on remet à chaque équipe le matériel nécessaire:

• une corde épaisse
• une corde mince
• un ruban à mesurer

Les élèves se mettent à la tâche et utilisent les tables de valeurs afin de déterminer l’effet de chaque noeud sur la longueur de la corde.  Pendant qu’on circulait, on a  remarqué que la plupart des équipes n’avaient pas trouvé une réponse constante pour l’effet du noeud.  Leurs données nous ont permis de les questionner davantage sur la précision de leur travail.

À la fin du cours, nous avons fait un retour en classe pour comparer les données et pour discuter des différences entre les résultats.  Les élèves ont ressortit que la force exercée sur la corde pourrait expliquer l'écart entre les valeurs.  Pour se mettre d'accord sur la moyenne des bonds des groupes, on a calculé ensemble la moyenne basée sur les résultats de chaque équipe.

Jour 2

Le lendemain, on a fourni aux élèves d’autres informations par rapport à la mise en situation et on leur a demandé de trouver le nombre de noeuds nécessaires afin que les deux cordes soient la même hauteur.  

De plus, on a misé sur l’idée qu’ils devaient exprimer leurs résultats à l’aide de différentes représentations.  On a fait un retour en classe pour comparer l’utilité des trois différentes représentations.  Cependant, à ce point ici, les élèves sont surtout à l’aise avec la table de valeurs et le graphique et encore moins certains de l’équation.

Afin de consolider leurs apprentissages, on leur a fourni une feuille de route à compléter comme devoir.  Il y a avait aussi une carte d’entrée le prochain jour afin de vérifier que tous les élèves avaient maîtrisé les concepts à l’étude.

Site de construction

C’est la dernière activité du bloc 2 .  « Le site de construction » a été élaboré en collaboration avec notre stagiaire.  Le but de l’activité est d’initier les élèves à l’idée d’utiliser plus qu’un quadrant dans un plan cartésien afin de faire le lien éventuel avec la géométrie analytique.  D’ailleurs, dans cette activité nous avons l'occasion de discuter des différentes caractéristiques d’une fonction, par exemple les fonctions affines et non affines ainsi que les variations directes et indirectes.

On a entamé le cours en leur montrant la courte animation d’un site de construction.  Les élèves sont tellement habitués à repérer les questions qu’ils commencent déjà à partager leurs idées avant que la prochaine diapositive soit affichée!

Les élèves déduisent qu’ils doivent déterminer qui arrivera au premier étage en premier, mais on continue à les questionner jusqu’à temps qu’un entre eux sorte la question suivante: “est-ce que les travailleurs se croisent en chemin avant d’arriver au premier étage?”

À ce moment, on leur demande s’ils peuvent travailler à l’aide de l'information fournie, ils réfléchissent et nous répondent qu’ils ont besoin de la vitesse et de la hauteur.  On affiche les données nécessaires et on les laisse travailler en équipe debout aux tableaux blancs.

Vers la fin du cours, on fait un retour en classe pour discuter des différentes réponses et méthodes utilisées. Le lendemain, on leur donne une feuille de route qui résume les caractéristiques d’une fonction affine.  De plus, les élèves commencent à travailler sur la révision du bloc 2.  

La progression de notre tableau

Dans le bloc 2, nous avons administré deux évaluations sommatives : un quiz et un test.  Le quiz a été donné après l’activité des tuiles algébriques et le test est administré après l’activité du site de construction. 

Nous sommes très heureuses avec la progression de notre spirale. Durant ce semestre, on prend un peu plus de temps à approfondir les activités et à questionner les élèves davantage sur leur apprentissage.